课堂教学效率是关于学习收益和教学时间的综合概念，是指在课堂单位时间内学生的学习收益与教师、学生的教学活动量在时间尺度上的量度。学生的学习方式，会直接影响到学习收益，从而影响到教学效率。传统的课堂教学过下面是小编为大家整理的2023年度余弦定理教案【五篇】,供大家参考。
余弦定理教案范文第1篇
【关键词】 学习方式；
预习方式；
科技手段；
教学效率
课堂教学效率是关于学习收益和教学时间的综合概念，是指在课堂单位时间内学生的学习收益与教师、学生的教学活动量在时间尺度上的量度。学生的学习方式，会直接影响到学习收益，从而影响到教学效率。传统的课堂教学过于强调学生的接受学习、机械训练和对结果知识的教学，表面上看似教学效率高，实质忽略了很重要的一个方面，即学生对过程知识与方法的理解与获得，长远来看不利于学生今后的学习与发展。学生知识的获取与能力的提高基本上是在课堂内完成的，所以课堂上应通过教师的设计与引导，使学生能够改变传统的学习方式，从而提高课堂教学效率。
通过实践，我们发现是现阶段比较符合新课程改革课堂教学基本理念的一种模式，具有很大的研讨价值与空间，是一种理念的革新。“学案导学”突出学生的自学行为，注重学法指导，培养学生学习能力、情感态度，做到把学习的主动权真正还给了学生，从而提高了课堂教学效率，也解决了课时紧张的矛盾。
1 改变备课和预习方式
“工欲善其事，必先利其器”，备课是上好课的先决条件，要想提高课堂教学效率，课前不仅教师要做好充分的准备，而且学生也要做相应的准备或预习。
1.1 师生共同备课。在传统备课模式下，备课时教师对学生的设想，与其在课堂教学实施中的实际情况，有的时候出入较大。师生共同备课改变了传统备课中，教师根据自己的理解和以往的主观经验来“备学生”的状况。教师在集体备课的基础上，采取每班选出三名具有不同数学学业水平的学生，事先让他们根据课本进行初步预习，然后以座谈的方式，了解他们在预习中的困惑，这样更容易在“导学案”编制过程中有的放矢，以提高它在实施过程中的效率，从而使“备学生”这一环节更加客观、准确。
1.2 学生根据“导学案”进行预习。教师历来强调课前预习的重要性，但因为学生没有详细、周密的预习指导性材料，导致他们对预习缺乏积极性与主动性，更是因为最重要的检查环节较弱，使学生的课前准备工作有很强的随意性，有的学生走过场。“导学案”以书面作业的形式来呈现，则在很大程度上改变了以往的状况，使预习不再可有可无和流于形式。“导学案”使学生有充分的时间通过自学课本、查阅资料和与同学探讨等方式将导学案中的问题进行思考和探究。教师在课前通过察阅学生预习过的导学案，深入了解学生预习的效果和存在的问题，以便把握讲课的方向和重点，从而提高课堂教学效率。
我们设计的“导学案”包括七个部分：学习目标、重难点、知识的回顾与引入、自学探究、题例训练、答疑解惑、归纳总结、作业检测。以诱导的方式，设计启发性的问题，注重铺设台阶的科学性，环环紧扣，层层推进，就像说评书中的情节扣，使学生在预习中渐渐深入，拾阶而上，并不断获得探索的成功。例如，三角函数中“两角和、差的正弦、余弦、正切公式”这节课的导学案，在公式探究这一环节是这样设计的：
自学探究：
(1)试完成课本P138．B4，从而得到两角和的余弦公式
（提示：①寻找等量关系｜PA｜=|P1P2|；
②若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 ）
成果1：（cos(α+β)=）
(2)在经历了推导两角和的余弦公式的辛苦历程后，我们还希望得到两角和与差的其他公式，仍需要如此辛苦的推导吗？能否有捷径？能否借助已学公式探求未知公式呢？
①试运用换元思想或化归思想，借助两角和的余弦公式及诱导公式，推导出两角差的余弦公式．
成果2：（cos(α-β)=）
②试在两角和与差的余弦公式的基础上，推导出两角和与差正弦公式．（提示：关键在于实现正弦、余弦的互化）
成果3：（sin(α+β)= ）
成果4：（sin(α-β) =）
③试利用同角三角函数关系及两角和与差的正弦、余弦公式，推导出两角和与差正切公式．
成果5：（tan（α+β））
成果6：（tan（α-β））
――祝贺你，今天自学又取得了这么多的成果！
这一过程关注的是学生对知识自然发生过程的体验，理解了就不再疑惑、动摇了，随即就在总结的环节上强化成型的结论，为落实知识打下坚实的基础。
2 新型课堂教学方式下学习方式的转变
新课程改革要求改变学生的学习方式，提倡自主学习、探究学习与合作学习。在平时的教学中，根据不同的教学内容、不同的教学目标，结合学生的特点选用不同的教学方法，努力创设一种和谐、愉悦的教学氛围和各种教学情境，精心设计教学过程。在课堂上给学生自主探索、合作交流、动手操作的权利，让学生充分发表自己的意见，使他们体会到成功的喜悦。
2.1 重视过程知识的教学。在“正、余弦函数性质”这节课中，课堂上学生根据自己预习的情况，首先对“导学案”发言讲解，对于探究问题“正弦函数图像是 对称图形，余弦函数图像是 对称图形”，学生通过观察图像猜想，再通过证明正、余弦函数的奇偶性，得出正弦函数图像只关于原点对称，余弦函数图像只关于y轴对称。这一过程呈现出他们探索与发现知识的过程，以及解决问题的方法、手段、步骤以及最终获得的成果。但他们得出的结果忽略了正弦函数图像还是轴对称图形，余弦函数图像还是中心对称图形。面对这种普遍存在的疑难问题，决定交由小组讨论，教师深入小组进行引导解惑，启发学生观察两个图像的关系。在小组的讨论中不仅可以锻炼学生对自己想法的语言表达和概括能力，而且组内同学还可以互相学习，发现自己和他人的薄弱环节、错误想法，引以为戒，取长补短。在小组讨论的基础上，由各小组选出一名代表利用投影仪，将讨论结果呈现给全班。一个小组代表利用图像平移，说明将正弦函数的图像向左平移π2个单位，就能与余弦函数图像重合，发现余弦函数也存在对称中心，正弦函数也存在对称轴，得出这两个函数的图像既是中心对称图形也是轴对称图形的结论。其他各组同学也各抒己见，大胆质疑。有的小组代表补充到：（如下图）将正、余弦函数的图像分别画在两张不同纸上，将纸重叠在一起，发现两个图像完全重合，说明他们的形状一样，只是在坐标系中的位置不同，所以仅就图形而言，它们都存在同样的对称中心与对称轴，只是因为位置的不同导致表达形式的不同，从而挖掘到了更深层次的内涵。
正如孔子曰：“不愤不启，不悱不发”，课堂上教师要善于迅速准确地捕捉具有普遍意义的疑点和难点，抓住良好时机，适时地予以启发，发动全体学生都主动参与进来，层层订正，层层完善，逐步引导学生自己将问题解决掉，并在解决问题的过程中明确和掌握知识点，培养学生善于提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的思维。通过合作学习学生增强了与他人合作交流的人际交往能力，激发了对数学的好奇心、求知欲以及学习数学的兴趣，觉得数学不再是那些枯燥、乏味的公式、计算、数字。这对于调动不同水平学生的学习情绪和学习积极性十分有效，课堂上小声说笑的，思想开小差的学生没有了，课堂吸收率与教学效果十分明显。
2.2 对学习成果总结方式的转变。传统课堂教学在课堂小节这一环节上，是由教师对所教授内容进行归纳提升，学生重视程度不高，往往认为是下课的前奏曲。在我们的“导学案”中，专门设计出“归纳总结”部分，使之成为学生课堂学习的有机组成部分。在完成课堂学习目标序列的基础上，仍以问题提出的方式，通过引导学生自己编写提纲的方式，对所学知识和思想方法进行内化整理，把新知识、新方法纳入到个体已有的认知结构中，形成知识与方法体系，进而达到知识的巩固与迁移和思想方法的丰富与发展。由此学生会提出更深层次的问题，产生探索新知识的内在需要，培养了学生的创新意识。
3 利用先进科技手段探索学习
新课程标准中明确指出：高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。
我们教学中利用软件《几何画板》，并教会学生使用，教师讲课时可采用Word、Powerpoint、投影仪等作为辅助教学手段，把计算机技术融入到数学教学中。数学学科的高度抽象、形式化的特点，决定了学生在学习数学的过程中，要真正地理解并掌握数学，进而领悟数学中的精神和思想方法，必须要经历一个再创造的过程。把计算机引入教学仅仅用大屏幕显示出来是不够的，还应尽量创设实验环境，引导学生自觉选择先进的工具进行探索和学习。例如，“平面向量基本定理”这节课“导学案”中的探究问题：“选定OA、OB为基底，设P为OA、OB所在平面上一点，则OP＝λOA＋uOB（λ∈R，?∈R），分别研究在以下情况下OP所对应的λ和u具有怎样的特点？①当P点在直线AB上运动。②当P点与O点位于直线AB的异侧。③当P点与O点位于直线AB的同侧。”
对于该问题的探究，如果按照传统研究方法，画在纸上的图是静态固定的，即使大家合作探究想要得出结论也非常困难。我引导学生如果能够让P点运动起来，同时又能看到随着P点的运动,λ和u的变化情况，可能会比较容易得出结论。学生自然想到利用计算机，我适时鼓励学生利用《几何画板》这一工具，自己动手制作课件（见“探究”课件），通过观察发现规律，猜想问题的结论①u＋u＝1②λ＋u＞1③λ＋u＜1。再利用所学知识进行科学的证明，验证自己观察猜想的正确性。
课堂上引导学生通过计算机 “实验操作发现规律提出猜想进行证明”，亲历数学建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方法，增强了学生的动手操作能力，发展了思维能力，培养了创新能力，使计算机成为学生探求、研究新知的一个强有力的工具。教师利用计算机来演示，学生利用计算机来学习、探索的效果是传统媒体无法达到的，从而确实有效地提高了课堂教学效率。
此外，运用心理学规律来指导学生学习，也会对提高课堂教学效率产生积极影响。对于教师来说，只有把握好新课程，提高课堂45分钟的效率，才能让课堂真正成为学生施展手脚、启发思维、展现智慧和能力的舞台，为学生的全面发展和终身发展奠定基础，建构平台，创设空间。
参考文献
[1] 《现代教育技术支持下中学数学教学改革实验研究》
[2] 《中师课堂教学效率探析》
[3] 《走进新课程,改变学生的学习方式》
[4] 《提高课堂教学效率的关键是了解学生》
余弦定理教案范文第2篇
关键词：正弦定理 余弦定理 应用
正弦定理与余弦定理沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可实现边与角的转化，从而简化问题，明确解题方向。正弦定理与余弦定理在解三角形的问题中有着广泛的应用，下面介绍几种典型的应用。
一、求边长
二、求角
分析：由于已知条件中既含有角又含有边，而未知量只是角，所以解此类问题的方法是由正弦定理把边转化为角，再进行化简。
三、判断三角形的形状
在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角之间关系进行判断，将已知条件利用正弦定理统一为角的关系，或用余弦定理统一为边的关系，有时也可以结合两者运用。
四、解决实际问题
将某些实际问题转化为解斜三角形的问题是一个难点。突破这一难点的关键在于如何将实际问题转化为数学问题，其方法是画出示意图，这样有助于将抽象问题具体化、形象化.通常总是将实际问题中的长度、角度看作三角形相应的边与角，从而构造三角形，创造应用解三角形的情景，进而运用有关解三角形的知识去解决问题。解此类问题的解题步骤为：
（1）根据题意画出示意图；
（2）定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知量和未知量；
（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的准确性；
（4）给出答案。
例 6：在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图1、2）的东偏南度方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域， 当前半径为60km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
分析：由题意，t小时后台风移动20t千米到达 A 处，∠ OPA=θ-45°，可由余弦定理求O A ， 此时台风侵袭的范围为以 A 为圆心，（60+10t）为半径的圆的内部，若 |OA| ≤（60+10t），则城市受到侵袭。
五、正弦定理与余弦定理之间的联系
在正弦定理与余弦定理的教学中，我们一般会强调：正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角。余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
②已知三边，求三个角。但往往忽略他们之间的内在联系，致使大多数学生对于已知两边和其中一边的对角这种问题，会首先考虑正弦定理，事实上是可以用余弦定理解决的，下面试举一例：
余弦定理教案范文第3篇
关键词：正弦波；
发生器；
序列;DDS
中图分类号：TN715.4 文献标识码：B
文章编号：1004373X(2008)0106402オ
Design Method of Sine Wave Generator
YANG Xiaoming,WU Guangmin,MENG Yu
(Faculty of Science,Kunming University of Technology,Kunming,650093,China)
オ
Abstract：This text introduces a kind of acquiring the sine wave with the arithmetic figure method,and gets sine a cosine for at the same time.Passing the experiment imitates the true expressing regulates the parameter in the electric circuit can also regulate the exportation range,frequency with the accuracy.This kind of electric circuit can be used for FFT and some digital communication,and providing a kind of new way of thinking for the design of the sine and cosine wave.
Keywords：sine wave;generator;sequence;DDS
オ
1 引 言
经常采用的正弦波发生器设计方案有模拟方式和数字频率合成(DDS)方式。
采用模拟方式可以有RC正弦波发生器、LC正弦波发生器和石英晶体振荡器等[1]。模拟方法通过调整外部元件的参数可以改变输出的正弦波频率,这种方案可以产生很宽的频率范围，从几赫兹到一百多兆赫兹[1]。但是模拟元件的参数分散性大，因此产生的正弦波频率稳定性较差、精度低、抗干扰能力差，要获得高精度的输出或频率很低的输出则成本比较高。
采用数字方式的直接数字频率合成(DDS)的方案，可使用单片机或FPGA作为核心控制部件[2]。该方案的思想是在ROM中预先存储一个周期为n个等间隔归一化的采样数据，通过对ROM中数据的扫描输出数据并进行DA转换得到波形，改变对ROM的扫描频率可以改变ROM中数据的读取速度即可合成不同频率的波形。该方案的优点是能达到较高的精度(增加ROM中的数据量)，可以实现各种波形的输出(改变ROM中的波形文件)。但该方案必须有足够的运算速度，并且必须配置有存储器和DA转换器，产生的波形往往需要通过低通滤波器才能达到满意的效果。
2 一种新的设计方法
本文提出的一种新设计方案可以不需要存储器，通过计算的方法同时获得正弦和余弦两种输出波形。这种电路可以用于离散傅里叶变换的计算和某些数字通信系统中。
2.1 设计过程
注：由式(8)和式(9)可知：S1[n]和S2[n]Р荒芡时为0，否则所有输出都为0。
2.3 设计结果仿真[5]
在Matlab仿真中参数设置为：S1[n]＝0；
S2[n]＝03(该数值可任意设置，只要满足S1[n]和S2[n]Р荒芡时为0即可)，仿真结果如下:
可以发现,调节S2[n]的初始值可以调节输出正弦波和余弦波的峰值，而且峰值正好就是S2[n]У某跏贾怠＊
调节Gain1可以调节输出的精度，图3是Gain1＝099时的输出波形，而Gain1＝0.7时，则波形为图4。显然图3的精度高于图4的精度。
3 结 语
本文产生正弦波的方法可以不需要存储器，在精度要求不高的情况下效果很好，可以应用于某些数字化仪器仪表中,但也存在一定问题：由于乘法器系数的量化可能使根落在单位圆内或圆外，从而导致振荡器的输出随n增大或衰减,此外由于乘法器的舍入误差，可能使正弦余弦发生器所产生的序列不再保留正弦特性。因此，为使累积误差不至于太大，可以考虑经过一些递归后重新设置变量S1[n]和S2[n]У闹怠＊
参 考 文 献
［1］童诗白，华成英.模拟电子技术基础[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.
［2］董在望.通信电路原理[M].2版.北京:高等教育出版社,2002.
［3］Paulo S R Diniz,Eduardo A B da Silva,Sergio L Netto.数字信号处理系统分析与设计[M].门爱东,杨波,全子一,译.北京:电子工业出版社,2004.
［4］Chi Tsong Chen.Digtal Signal Processing Spectral computation and Filter Design[M].北京:电子工业出版社,2002.
［5］徐明远,邵玉斌.Matlab仿真在通信与电子工程中的应用[M].西安:西安电子科技大学出版社,2005.
作者简介
余弦定理教案范文第4篇
一、积极创设情境，使学生“想问”
在教学工作中，经常听教师议论：现在的学生太懒了，学问学问，随学随问。可学生就是不问，即使不会也不问，真拿他们没办法。传统的课堂教学模式造成了学生对教师迷信、崇拜和盲从，学生对困惑既渴望质疑但又害怕“出错”。思维活动总不能跳出教师预先设计好的“圈子”，同时又生怕因为质疑遭到教师的训斥。因此学生已习惯于被动地、无条件地接受知识（哪怕是错误），不敢向教师质疑，更不敢向课本质疑。因此，我们应该积极创设情境，让学生质疑，使质疑成为学生的自身需要。
案例一：在学习几何概型时，老师在走进课堂的第一句话是：“如果我每天早上到校上班的时间是7点到8点之间的任何一个时刻，并且每个时间是等可能的，请问我7点半之前到校的概率是多少？”学生不很确定地答出0.5后，教师乘胜追击：“这是古典概型吗？为什么？”由此引出了本节课的学习内容，教师接着问：对于这节课你想学习哪些内容？学生立即兴趣高涨，自觉主动提出学习目标，自觉主动提出问题解决问题；
正是在设疑――解疑――质疑中师生合作，轻松完成了本节的学习任务。
反思：数学来源于生活，最终服务于生活。实践证明，当学习的材料来自于现实生活时，学生的学习兴趣会倍加高涨。我们要利用现实生活或实际需要中的素材，创设情境，巧妙设疑，让学生主动质疑。这样既可让数学课贴近生活，又可提高学生学习数学的兴趣，培养他们主动质疑的习惯。教师在教学中应抓住一个“巧”字，掌握一个“活”字，根据具体情况，积极创设情境，学生就乐于将自己的疑惑提出来。另外，教师在教学设计中还要对学生的质疑有充分的考虑，做到心中有数、“案”中有人。给学生的质疑创造良好的机会，提供充足的时空。
二、想方设法营造氛围，使学生“敢问”
民主和谐的教学氛围是学生积极主动性发挥的前提，它能消除学生的紧张心理，使学生处于一种宽松的心理环境中。学生心情舒畅，就能迅速地进入学习的最佳状态，乐于思维，敢于质疑。因此，教师要与学生角色平等，变“一言堂”为师生互动。在课堂上教师要以饱满的热情、真诚的微笑面对每一位学生，特别是对学困生更应该倾注以爱心和耐心，使其深刻地感受到教师的厚爱和关注，真正体会到自己是学习的主人。从而缩短与学生之间的心理距离、角色距离，建立朋友式的新型师生关系。其次，要允许学生质疑“出错”。这是学生敢于质疑的前提。
我们教师善问只是为学生树立了“问”的榜样，而“善待问”才为学生的质疑提供了可能。因此，我们要采用语言的激励、手势的肯定、眼神的默许等手段对学生的质疑行为给予充分的肯定和赞赏。一个人如果体验到一次成功的乐趣，就会勇气倍增，激起无数次的追求。教师要使学生认识到畏惧错误就是放弃进步，学生一旦具有这样的意识，就会消除自卑心理，毫无顾忌地勇于质疑。
三、培养良好习惯，使学生“好问”
激疑是使学生好问的一种策略。课堂上，教师可以精心设置似是而非的问题，巧妙揭露学生已有认知与数学知识之间的矛盾，从而激发学生质疑。这是一个特殊的方法，常用于错题分析中，教师可以给出形似正确而实为错误的解答，让学生剖析、质疑，改正错误，形成正确的结论。
案例二：讲评这样一个问题：已知：-4≤a-b≤-1，-1≤4a-b≤5，求9a-b的取值范围。教师先直接给出两种不同的解法（答案不同，解法略），让学生分析哪一种方法是正确的，这样先让学生在认知上产生矛盾，然后乘势让学生修改，探索出新问题，获得新启发。这样为学生营造了活泼的学习环境，激发学生质疑，最后得出合理的解释。
反思：在教学中，若能抓住时机 ，引导学生质疑，就能培养学生不拘于教材和教师说教，创造性地接受事物，因此在课堂教学中，教师要允许学生质疑时的“七嘴八舌”。只有让学生拥有一份自然、无拘无束、轻松愉快的心情，才会使学生焕发生命的活力，才能激发学生质疑和创新的兴趣。
导疑是驾驭学生质疑习惯养成的保障。案例三：“余弦定理”一节课，在学习了正弦定理的基础上，引领学生在课堂质疑了如下几个问题：
1. 余弦定理与正弦定理有什么区别和联系？
2. 余弦定理和勾股定理有什么关系？
3. 余弦定理还有其他的证明方法吗？
4. 用正弦定理解三角形时会出现无解、一解、两解的情况，那么用余弦定理解三角形时是否也会出现无解、一解、两解的情况？
反思：学生质疑的情绪极其高涨，在充分讨论的基础上，教师给予适当的点拨，诱导学生拨云见日、变阻为通，从而使学生进一步理解了它们的联系和区别。牢固地掌握了正余弦定理。教师导之有方，常导不懈，学生便能自获其知，自增其能。
四、教给学生方法，使学生“会问”
常言道：“授之一鱼不如授之一渔”。每一个教师都应该充分认识到，培养学生学会是前提，而让学生会学才是目的。我们要让学生想问、敢问、好问，但更应该让他们会问。要使学生认识到不会问就不会学习，会问才是具备质疑能力的重要标志。因此，教师要做好示范。学生的一切活动都是从模仿开始的，质疑也是如此。教师应注意质疑的“言传身教”。同时，我们应该使学生明确在哪儿找疑点（找茬儿）。
余弦定理教案范文第5篇
本章教材分析
本章知识框图
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式, 以及运用这些公式进行简单的恒等变换. 变换是数学的重要工具, 也是数学学习的主要对象之一. 在本册第一章, 学生接触了同角三角函数公式. 在本章, 学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式, 由此出发导出其他的三角变换公式, 并运用这些公式进行简单的三角恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上. 通过本章学习, 使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中, 发展推理能力和运算能力, 并体会三角恒等变换的工具性作用, 学会它们在数学中的一些应用.
本章内容安排按两条线进行, 一条明线是建立公式, 学习变换; 一条暗线就是发展推理能力和运算能力, 并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中, 也体现在建立公式的过程之中. 因此在本章教学中, 教师要特别注意恰时恰点地提出问题, 引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题, 使学生能依据三角函数式的特点, 逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换, 还包括式子中角的变换, 以及不同三角函数之间的变换, 强化运用数学思想方法指导
设计变换思路的意识.
突出数学思想方法的教学, 在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导, 本章不仅关注使学生得到和(差) 角公式, 而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法. 例如, 在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应用; 从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 二倍角的正弦、余弦、正切公式, 在这个过程中, 始终引导学生体会化归思想; 在应用公式进行恒等变换的过程中, 渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法, 特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用, 对学生解决问题的一般思路进行引导, 这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用. 另外, 还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结. 例如, 在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的,2α是α的二倍,4α是2α的二倍, 这里蕴含着换元的思想”等, 都是为了加强思想方法而设置的.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”,在高考中占有重要的地位, 主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用, 考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力, 其考查难度属低档, 这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊的变化技巧, 应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上. 教师在教学中, 要注意控制好难度. 因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低, 但教材中部分习题却有一定难度, 因此教师要把握好难度.
本章教学时间约需8课时, 具体分配如下(仅供参考):
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
整体设计
一、教学分析 本节是以一个实际问题做引子, 目的在于从中提出问题, 引入本章的研究课题. 在用方程的思想分析题意, 用解直角三角形的知识布列方程的过程中, 提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要; ②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要. 以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系, 增强学生的应用意识, 激发学生学习的积极性, 同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.
本节首先引导学生对cos(α-β)的结果进行探究, 让学生充分发挥想象力, 进行猜想, 给出所有可能的结果, 然后再去验证其真假. 这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程, 最后提出了两种推导证明“两
角差的余弦公式”的方案. 方案一, 利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导, 让学生动手画图, 构造出α-β角, 利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度, 教师要作恰当的引导. 方案二, 利用向量知识探索两角差的余弦公式时, 要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时, 联系向量知识, 体会向量方法的作用; ②结合有关图形, 完成运用向量方法推导公式的必要准备; ③探索过程不应追求一步到位, 应先不去理会其中的细节, 抓住主要问题及其线索进行探索, 然后再反思, 予以完善; ④补充完善的过程, 既要运用分类讨论的思想, 又要用到诱导公式.
本节是数学公式的教学, 教师要遵循公式教学的规律, 应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来; ②使学生认识公式的结构特征, 加以记忆; ③使学生掌握公式的推导和证明; ④通过例子使学生熟悉公式的应用, 灵活运用公式进行解答有关问题.
二、教学目标
1．知识与技能：
通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系, 并通过强化题目的训练, 加深对两角差的余弦公式的理解, 培养学生的运算能力及逻辑推理能力, 提高学生的数学素质.
2．过程与方法：
通过两角差的余弦公式的运用, 会进行简单的求值、化简、证明, 体会化归思想在数学当中的运用, 使学生进一步掌握联系的观点, 自觉
地利用联系变化的观点来分析问题, 提高学生分析问题、解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：
通过本节的学习, 使学生体会探究的乐趣, 认识到世间万物的联系与转化, 养成用辩证与联系的观点看问题. 创设问题情境, 激发学生分析、探求的学习态度, 强化学生的参与意识, 从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.
三、重点难点
教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.
教学难点:探索过程的组织和适当引导.
四、课时安排
1课时
五、教学设想
（一）导入新课
思路1. (问题导入) 播放多媒体, 出示问题, 让学生认真阅读课本引例. 在用方程的思想分析题意, 用解直角三角形的知识布列方程的过程中, 提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要; ②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要. 在此基础上, 再一般化而提出本节的研究课题进入新课.
思路2.(复习导入) 我们在初中时就知道cos45°=2,cos30°=, 22
由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于
cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证, 经过验证可知, 我们的猜想是错误的. 那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案, 由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①请学生猜想cos(α-β)=?
②利用前面学过的单位圆上的三角函数线, 如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？
③利用向量的知识, 又能如何推导发现cos(α-β)=?
④细心观察C (α-β)公式的结构, 它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？
⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？
活动:问题①, 出示问题后, 教师让学生充分发挥想象能力尝试一下, 大胆猜想, 有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论, 此时教师适当的点拨, 然后让学生由特殊角来验证它的正确性. 如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=
1 22, 而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=
cos(α-β)≠cosα-cosβ. , 这一反例足以说明
让学生明白, 要想说明猜想正确, 需进行严格证明, 而要想说明猜想错误, 只需一个反例即可.
问题②, 既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题, 是α-β这个角的余弦问题, 我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？
图1
如图1, 设角α的终边与单位圆的交点为P 1, ∠POP 1=β,则∠POx=α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴, 垂足为M, 那么OM 就是角α-β的余弦线, 即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM. 过点P 作PA 垂直于OP 1, 垂足为A, 过点A 作AB 垂直于x 轴, 垂足为B, 过点P 作PC 垂直于AB, 垂足为C. 那么,OA 表示cosβ,AP表
是示sinβ,并且∠PAC=∠P 1Ox=α.于所,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβcosα+sinβsinα, 以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα
sinβ.
教师引导学生进一步思考, 以上的推理过程中, 角α、β、α-β是有条件限制的, 即α、β、α-β均为锐角, 且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立, 还要做不少推广工作, 并且这项推广工作的过程比较繁琐, 由同学们课后动手试一试.
图2
问题③, 教师引导学生, 可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢? 如图2, 在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O, 以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B, 则OA =(cosα,sinα),OB =(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.
由向量数量积的定义有=||||·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有
=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,
于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
我们发现, 运用向量工具进行探究推导, 过程相当简洁, 但在向量数量积的概念中, 角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确, 由于α、β都是任意角,α-β也是任意角, 因此就是研究当α-β是任意角时, 以上公式是否正确的问题. 当α-β是任意角时, 由诱导公式, 总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］, 则OA OB =cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］, 则2π-θ∈［0,π］, 且=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). 由此可知, 对于任意角α、β都有
此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦
值之间的关系, 称为差角的余弦公式, 简记为C (α-β). 有了公式C (α-β)以后, 我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值, 就可以求得cos(α-β)的值了.
问题④, 教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征, 让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆, 特别是运算符号, 左“-”右“+”.或让学生进行简单填空, 如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等. 因此, 只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了.
问题⑤, 对于公式的正用是比较容易的, 关键在于“拆角”的技巧, 而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性, 特别是变形应用, 这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧. 如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=
cosα=cos［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.
讨论结果:①—⑤略.
（三）应用示例
思路1
例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.
活动:先让学生自己探究, 对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°, 它可以拆分为哪些特殊角的差, 如15°=45°-30°或者3, 2
15°=60°-45°, 从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值. 教师不要包办, 充分让学生自己独立完成, 在学生的具体操作下, 体会公式的结构, 公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法. 对于很快就完成的同学, 教师鼓励其换个角度继续探究.
解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =221+2⨯+⨯=. 22224
方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =122236+2+⨯=. 2224
点评:本题是指定方法求cos15°的值, 属于套用公式型的, 这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上. 但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式, 灵活运用公式求值. 本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角, 但可以拆分成两角差的情形. 至于如何拆分, 让学生在应用中仔细体会.
变式训练
1. 不查表求sin75°,sin15°的值.
解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =221+2⨯+⨯=. 22324
sin15°=-cos 215 =1-(6+228-26⨯26-2) ==. 4164
点评:本题是例题的变式, 比例题有一定的难度, 但学生只要细心分析, 利用相关的诱导公式, 不难得到上面的解答方法.
2. 不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.
解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.
点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉, 需要教师加以引导, 让学生细心观察, 再结合公式C (α-β)的右边的特征, 逆用公式便可得到cos(110°-20°). 这就是公式逆用的典例, 从而培养了学生思维的灵活性.
例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=-
值.
活动:教师引导学生观察题目的结构特征, 联想到刚刚推导的余弦公式, 学生不难发现, 欲求cos(α-β)的值, 必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值, 然后利用公式C (α-β)即可求解. 从已知条件看, 还少cosα与sinβ的值, 根据诱导公式不难求出, 但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时, 角α、β所在的象限, 准确判断它们的三角函数值的符号. 本例可由学生自己独立完成.
解:由sinα=,α∈(,π),得 cosα=--sin 2a =--() 2=-.
又由cosβ=-5,β是第三象限角, 得 134545π25,β是第三象限角, 求cos(α-β)的13π24535
sinβ=--cos 2β=--(-) 2=-
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
51312. 13
=(-) ⨯(-) +⨯(-3
5513451233) =-. 1365
点评:本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习, 但必须思考使用公式前应作出的必要准备. 特别是运用同角三角函数平方关系式求值时, 一定要弄清角的范围, 准确判断三角函数值的符号. 教师可提醒学生注意这点, 养成良好的学习习惯.
变式训练
已知sinα=,α∈(0,π),cosβ=-
解:①当α∈4
5455,β是第三象限角, 求cos(α-β)的值. 13π4［,π)时, 且sinα=, 得25cosα=--sin 2a =--() 2=-,
又由cosβ=-5,β是第三象限角, 得 1335
sinβ=--cos 2β=--(-) 2=-5
1312. 13
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 1233) =-. 1365.
π4②当α∈(0,) 时, 且sinα=, 得 25=(-) ⨯(-) +⨯(-3551345
cosα=-sin 2a =-() 2=,
又由cosβ=-5,β是第三象限角, 得 134535
sinβ=--cos 2β=--(-) 2=-
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =⨯(-) +⨯(-3
5513451263) =-. 136551312. 13
点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同. 由于
α∈(0,π),这样cosα的符号可正、可负, 需讨论, 教师引导学生运用分类讨论的思想, 对角α进行分类讨论, 从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性. 教师强调分类时要不重不漏.
思路2
例1 计算:(1)cos(-15°);
(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;
(3)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).
活动:教师可以大胆放给学生自己探究, 点拨学生分析题目中的角-15°, 思考它可以拆分为哪些特殊角的差, 如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°, 然后套用公式求值即可. 也可化cos(-15°)=cos15°再求值. 让学生细心观察(2)(3)可知, 其形式与公式C (α-β)的右边一致, 从而化为特殊角的余弦函数.
解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =2216+2⨯+⨯=. 22224
(2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.
(3)原式=cos［x-(x+y)］=cos(-y)=cosy.
点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值, 从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力, 为后面公式的学习打下牢固的基础.
例2 已知cosα=,cos(α+β)=-1711π, 且α、β∈(0, ), 求cosβ的值. 142
活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求, 让学生探究α、
α+β、β之间的关系, 也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系. 学生通过探究、讨论不难得到β=(α+β)-α的关系式, 然后利用公式C (α-β)求值即可. 但还应提醒学生注意由α、β的取值范围求出α+β的取值范围, 这是很关键的一点, 从而判断sin(α+β)的符号进而求出cosβ.
解:α、β∈(0,), α+β∈(0,π).
又cosα=,cos(α+β)=-
sinα=-cos 2a =43, 7
53. 141711, 14π2sin(α+β)=-cos 2(a +β) =
又β=(α+β)-α,
cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =(-1115341) ⨯+⨯=. 1471472
点评:本题相对于例1难度大有提高, 但是只要引导适当, 学生不难得到β= (α+β)-α的关系式, 继而运用公式解决. 但值得注意的是α+β的取值范围确定, 也是很关键的, 这是我们以后解题当中常见的问题.
变式训练
1. 求值:cos15°+sin15°.
解
=2(:原式22cos15°+sin15°)=2(cos45°cos15°+sin45°sin15°) 22
. 2=2cos(45°-15°)= 2cos30°=
2. 已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=, 求cos(α-β)的值.
解:(sinα+sinβ)2=() 2,(cosα+cosβ)2=() 2,
以上两式展开两边分别相加得2+2cos(α-β)=1,
cos(α-β)=-.
点评:本题又是公式C (α-β)的典型应用, 解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方, 从而得到公式C (α-β)中cosαcosβ和sinαsinβ的值, 即可求得cos(α-β)的值, 本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.
3. 已知锐角α、β满足cosα=,tan(α-β)=-, 求cosβ. 41
53
34解:α为锐角, 且cosα=, 得sinα=. [1**********]5
又0
-
又tan(α-β)= -
cos(α-β)=3
13π2π2π2π2.
1
从而sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=-.
cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) ==
4531+⨯(-). 539. 50
（四）课堂小结
1. 先由学生自己思考、回顾公式的推导过程, 观察公式的特征, 特别要注意公式既可正用、逆用, 还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题. 然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识; 三角变换的特点.
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